Partidas de Ajedrez Posibles (calculo)

1. ¿Cuántas partidas de ajedrez son posibles?

El cálculo preciso de dicho número resulta inabordable, por lo que aproximaremos tal cantidad, que llamaremos PAP o partidas de ajedrez posibles. Comencemos con unas cuestiones más sencillas:

1.1. ¿Cuántas jugadas son posibles en el primer movimiento de ambos jugadores?

Jugadas posibles de las blancas en su primer movimiento = JPB1 = 20. Como JPN1 = 20, se tiene un total de 20 x 20 = 400 jugadas.

1.2.  ¿Cuántas posiciones distintas son posibles tras el 2º movimiento de las blancas?

Podemos considerar las posibles combinaciones de dos jugadas de las blancas y luego multiplicar por las 20 posibilidades de las negras en su primer movimiento (JPN1).
Desglosemos el cálculo según las diversas opciones de las blancas en sus dos jugadas.

• Mover dos peones distintos: 16 x 14 x 20 : 2 = 2.240
• Mover dos veces un mismo peón: 16 x 20 + 14 capturas - 8 clavadas = 326
• Mover un peón y una pieza: 121 x 20 - 4 obstrucciones = 2.416
• Mover el caballo y devolverlo a su casilla: 20
• Mover un caballo dos veces sin retroceder: 10 x 20 = 200
• Mover los dos caballos: 4 x 20 = 80
• Mover un caballo y una torre: 4 x  20 = 80

Total = 2.240 + 326 + 2.416 + 20 + 200 + 80 +80 = 5.362 posiciones distintasObservar que jugadas posibles hay bastantes más porque a una misma posición se puede llegar por muchas maneras... De hecho, tras la 2ª jugada de las negras hay 72.084 posiciones posibles; con la 3ª jugada de las blancas son más de 809.000; con la 3ª jugada de las negras ¡hay más de 9₁100.000!
El número total de situaciones posibles (SP )es del orden de veinte septillones:
SP ≈ 20₇000.000₆000.000 ₅000.000₄000.000₃000.000₂000.000₁000.000

1.3.  ¿Cuál es la partida más corta posible?

No es el conocido jaque mate pastor, desarrollado en la primera figura. En teoría, se podría dar mate en tan sólo dos movimientos con el poco conocido mate del loco.

Mate pastor1. e2, e4 2. ac4, cc6 3. df3, d6 4. dxf7++	Mate del loco1. f3, e6 2. g4, dh4++

La variante mostrada es mínima en el sentido de ser el menor desplazamiento posible de las piezas con respecto a la posición de partida.

1.4.  ¿Cuál es la partida legal más larga posible?

Según las reglas de la federación internacional de ajedrez (fide), una partida se considera tablas si tras 50 jugadas por bando no se ha movido ningún peón ni comida ninguna pieza. Nuestra partida deberá tener tantas veces 50 jugadas como movimientos de peones y capturas de piezas sean posibles.
Con los peones sólo se pueden hacer 48 movimientos por bando. Dentro de los 96 movimientos habrá 8 capturas de piezas por peones para evitar que los peones contrarios situados en la misma columna se bloqueen entre sí. Las 6 piezas restantes (los reyes deben seguir) y las 16 piezas por promoción de todos los peones serán capturadas a razón de una por cada 50 jugadas.
Luego habrá un máximo de 96 + 6 + 16 = 118 grupos de 50 jugadas. La partida más larga contaría con un total de 118 x 50 = 5.900 jugadas. En realidad, un análisis más preciso demuestra que terminaría con 5.899 jugadas, dejando enfrentados a los dos reyes entre sí.

1.5.  Número de partidas de ajedrez normales

Para simplificar el cálculo aceptaremos las siguientes limitaciones o cifras medias:

• Una partida normal consta de 40 jugadas.
• 20 jugadas para cada bando en las 5 primeras jugadas.
• 30 jugadas para cada bando en las 35 restantes jugadas.

Luego las partidas de ajedrez normales son:    PAN =(20 × 20)⁵ (30 ×30)³⁵ = 2¹⁰× 3⁷⁰×10⁸⁰Como la calculadora científica normal no puede realizar ese cómputo, simplificaremos de nuevo las cuentas:

• 2¹⁰= 1024 ≈10³
• 3⁷⁰ = 3² × (3⁴)¹⁷ ≈ 10 × 80¹⁷  = 8¹⁷×10¹⁸× 2⁵¹ ×10¹⁸ = 2×(2¹⁰)⁵× 10¹⁸≈2×10¹⁵×10¹⁸ = 2×10³³
• 2¹⁰×3⁷⁰×10⁸⁰ ≈ 10³ ×2×10³³×10⁸⁰× 2×10¹¹⁶

Con programas más potentes de cálculo, obtenemos exactamente el valor buscado:

PAN=	25619323123187113071793997416 57115375190149376001300000012 00011000000100000009 00000080007000000600000050000004 000300000020000001000000

Este número empequeñece la consabida cantidad de granos de trigo solicitada como premio por la invención del ajedrez (2⁶⁴-1 = 18₃446.744₂073.709₁551.615 ≈ 18×10¹⁸). Si los 6.000 millones de personas existentes jugaran al ajedrez todo el día, moviendo una pieza por segundo, el ajedrez duraría poco menos de 2×10⁹⁹ siglos, unos 2×10⁸⁹ billones de años...

1.6.  Número total de partidas de ajedrez

Si, además de todo lo anterior, también consideramos las partidas prolongadas adrede al máximo, el número de partidas de ajedrez posibles (PAP) crece espectacularmente. Aceptando que, en teoría,  una partida podría extenderse hasta la jugada 5.899, el matemático N. Petrovic calculó que  PAP ≈ 10^18.900.
Desde luego, no nos aburriremos.

1.7.  Resumiendo

Hemos obtenido que:

• Las situaciones posibles son:   SP = 20×10⁴²
• Las partidas de ajedrez normales son:  PAN = 2×10¹¹⁶
• Las partidas de ajedrez posibles son:  PAP = 10¹⁸